Résolution d’une équation d’onde (équations aux dérivées partielles) [fermé]

ys wong

Résolution d’une équation d’onde (équations aux dérivées partielles) [fermé]


Une chaîne tendue entre les points

0

et

π

sur le

X

axe et initialement choisi de telle sorte qu’au repos est libéré de la position

y=F(X)

. Son mouvement est opposé par une résistance à l’air qui est proportionnelle à la vitesse en chaque point. Soit l’unité de temps choisie pour que l’équation du mouvement devienne

ytt(X,t)=yXX(X,t)2βyt(X,t)

(0<X<π, t>0)


β

est une constante positive en supposant que

0<β<1

dériver l’expression suivante dans le de

y(X,t)=eβtn=1bn(cosαnt+βαnpéchéunent)péché(nX)

Ce que j’ai essayé:

D’abord mes conditions aux limites sont

y(0,t)=0y(π,t)=0y(X,0)=F(X)yt(X,0)=g(X)

Avant de résoudre le problème, je voudrais d’abord vérifier si mes conditions aux limites sont correctes. J’ai également essayé d’utiliser la méthode de séparation des variables pour ce problème, mais cela ne semble pas fonctionner, dois-je utiliser la solution de-Alembert à la place? Et comment puis-je l’utiliser pour ce problème?

Yuri

Les conditions initiales semblent correctes, sauf la dernière, avez-vous oublié de mentionner

Yuri

Vous pouvez suivre ce manuel math.ubc.ca/~feldman/m267/separation.pdf sauf que l’équation pour T (t) sera légèrement différente.

Réponses


 Qwertuy

La technique de séparation des variables fonctionne très bien. Quel est le problème avec ça? Vos conditions limites / initiales sont rigides à l’exception de la dernière: vous avez mentionné que la chaîne était au repos au début, donc

g(X)=0.


L’équation est facilement résolue par la méthode de séparation des variables.
Cela fonctionne comme suit: vous trouvez d’abord une solution générale à l’équation (en oubliant la condition initiale) avec vos conditions aux limites de la forme

y(X,t)=X(X)T(t).

Vous constaterez qu’il existe une infinité de solutions possibles de ce type,

y1(X,t)=X1(X)T1(t),y2(X,t)=X2(X)T2(t),,yn(X,t)=Xn(X)Tn(t),

Ensuite, puisque votre équation est linéaire et donc toute superposition linéaire de solutions est toujours une solution, vous écrivez un Ansatz pour la solution du problème avec les conditions initiales comme:

y(X,t)=n=1unenXn(X)Tn(t),


unen

sont des coefficients que vous devez ajuster pour que

y(X,0)=F(X)

et

y(X,t)t|t=0=0.

Pour ce qui va suivre, j’écrirai juste

X

et

T

au lieu de

X(X)

et

T(t)

et il sera implicite que les dérivés

X

et

T

sont bien sûr par rapport aux variables

X

et

t

respectivement. Dans votre problème concret, l’équation est

ytt=yXX2byt,

et présentant l’Ansatz

y=XT

on a:

XT=TX2bXT


en réorganisant un peu cela, nous avons:

T+2bTT=XX


Et voici l’idée cruciale de la technique de séparation des variables.
Puisque le côté gauche ne dépend que de

t

et le côté droit ne dépend que de

X,

nous concluons que les deux expressions doivent être égales à une certaine constante

K.

Par conséquent, nous avons réduit notre problème d’équations différentielles partielles à deux équations différentielles ordinaires:

T+2bTKT=0

XKX

Compte tenu de vos conditions aux limites, il est déjà facile de voir que

X

doit être une fonction sinus avec l’argument

nX,

pour

n

un nombre entier. Autrement dit,

K=n2.

Vous pouvez brancher ces informations dans la première équation de

T

et le résoudre.

Je vais omettre ces étapes car je pense que c’est assez direct d’ici, mais veuillez demander si vous avez des difficultés avec ça! C’est particulièrement facile puisqu’ils vous indiquent déjà la forme des solutions!

Ensuite, vous combinez simplement les solutions linéairement avec certains coefficients. Ce que vous voulez faire maintenant, c’est trouver les coefficients

bn

qui font que

bnpéché(nX)=F(X).

La réponse est que ce sont des coefficients de Fourier. Je ne sais pas si vous le savez, mais même si vous ne le savez pas, la recette est assez facile à suivre et vous pouvez rechercher les formules clés dans le wikipedia

ys wong

Quand je suis fatigué de résoudre l’équation

 

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