Résoudre par calcul des corps qui poussent et tirent

brianmearns

Résoudre par calcul des corps qui poussent et tirent


Existe-t-il un moyen de trouver une solution pour les positions (en fonction du temps) de plusieurs corps libres qui se poussent et se tirent l’un sur l’autre?

Disons par exemple que j’ai une collection de cellules qui peuvent se contracter ou se développer individuellement et qui sont jointes les unes aux autres. Par souci de simplicité, je suppose deux dimensions; pas de gravité, de friction ou d’autres forces externes; et les cellules sont circulaires et se connectent donc en un point. Lorsqu’une cellule se contracte ou se dilate, elle réduit ou augmente simplement son rayon, respectivement. Lorsqu’il se contracte, il tire sur toutes les cellules qui lui sont attachées. Lorsqu’il se dilate, il pousse sur toutes les cellules attachées, et dans les deux cas, il le fait avec une force particulière. La masse de chaque cellule est connue.

Je soupçonne que cela peut être lié à un problème de N-corps (peut-être encore plus difficile) et ne peut donc pas être résolu exactement. Si tel est le cas, quelqu’un peut-il suggérer une approche pour une approximation raisonnable de ce système?

Jim

Trouvez l’équation pour la vitesse de chaque corps en fonction du temps et les positions et vitesses de tous les autres corps. Décidez ensuite des conditions initiales pour chaque corps. Utilisez ensuite une méthode RK4 pour le résoudre numériquement. Ce sera un processus intensif. Ce n’est pas impossible, il suffit de prendre beaucoup de temps pour les grands N

CuriousOne

Ne me clouez pas là-dessus, mais pour un problème non holonomique comme celui-ci, vous devrez peut-être utiliser le principe de D’Alembert en.wikipedia.org/wiki/D%27Alembert%27s_principle . Je ne connais pas la bonne approche d’une solution numérique, mais je soupçonne qu’elle est à la fois bien analysée et loin d’être anodine.

Jim

@CuriousOne loin d’être trivial en effet. Pas souvent mis en œuvre en raison du coût de l’ajout de chaque corps successif au problème. Mais cela fonctionnerait néanmoins à des degrés divers de précision

CuriousOne

@Jim: Je m’inquiéterais un peu de la propagation des erreurs, en particulier avec les sphères en contact, encore plus si l’on essayait de modéliser les propriétés élastiques des coques ou du volume. Les gens qui analysent des systèmes de type mousse ne font-ils pas ce genre de calculs? Existe-t-il une théorie simplificatrice pour au moins certaines propriétés moyennes?

Jim

Maintenant, nous dépassons mon expertise. Je doute qu’il y ait une simple théorie, mais je peux me tromper. Tout ce que je sais, c’est qu’à chaque fois qu’un problème de N-corps apparaît dans mon travail, tout le monde dit que ce n’est pas assez important pour mériter l’effort de le résoudre.

Réponses


 Maxim Umansky

Vous devez formuler le modèle mathématique de ce système. Une fois que vous avez des équations différentielles décrivant le comportement de ces objets (cellules), vous pouvez intégrer ces équations dans le temps sur un ordinateur; la seule question est de savoir combien d’objets vous souhaitez inclure dans le calcul – plus vous aurez besoin d’un ordinateur plus grand. Je suppose que quelques dizaines de cellules peuvent être traitées aujourd’hui par un ordinateur portable, si vous avez besoin de centaines ou plus, alors probablement une grande machine parallèle est nécessaire pour en faire un calcul pratique. Ce problème n’est pas mauvais car le problème du N-corps car ici, il semble que seules les forces entre les voisins les plus proches sont importantes, cela le rend plus facile. Quoi qu’il en soit, une chose que nous savons est la loi de Newton – si vous avez des forces agissant sur un objet, vous connaissez son accélération et vous pouvez donc trouver sa vitesse et sa position. Cependant, ce que vous devez spécifier, c’est quelle est la force entre deux objets, si vous connaissez leurs positions et leurs rayons. Et, pour ce problème, vous devez décrire l’évolution temporelle du rayon de la cellule – comment il dépend des forces agissant sur la cellule, etc. Tout cela doit être formulé sous forme d’équations différentielles; mais une fois que cela est fait, le résoudre numériquement est relativement simple. Pour avoir une idée de ce à quoi pourrait ressembler ce calcul, je suggère de maintenir initialement les rayons des cellules constants, et d’utiliser un potentiel simple pour approximer la force entre les cellules qui se touchent, et d’utiliser un algorithme d’intégration temporelle simple comme la méthode saute-mouton http://en.wikipedia.org/wiki/Leapfrog_integration

 

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