Séparabilité de l’équation de Hamilton Jacobi

Joe

Séparabilité de l’équation de Hamilton Jacobi


Lorsque nous parlons de l’intégrabilité des systèmes classiques en termes de mécanique hamiltonienne ou lagrangienne, tout a à voir avec le comptage de quantités conservées indépendantes.

Ensuite, lorsque nous passons au formalisme Hamilton-Jacobi , tout à coup, tout est question de séparabilité de l’équation de Hamilton-Jacobi et des conditions de Staeckel . Comment ces deux concepts sont-ils liés l’un à l’autre? L’existence d’un certain nombre de quantités conservées implique-t-elle la séparabilité de l’équation de Hamilton-Jacobi dans un système de coordonnées?

Phoenix87

voir en.wikipedia.org/wiki/Action-angle_coordinates . L’idée approximative est que chaque quantité conservée peut être considérée comme une nouvelle coordonnée. Le nouvel hamiltonien est alors indépendant sur une telle coordonnée, car il est construit pour être cyclique. Si vous avez autant de quantités indépendantes conservées que de degrés de liberté, vous pouvez remplacer toutes les variables de la manière décrite ci-dessus, de sorte que l’hamiltonien dépend uniquement de la dérivée temporelle des variables conjuguées.

Qmécanicien ♦

Connexes: physics.stackexchange.com/q/291511/2451 et les liens qui s’y trouvent.

Réponses


 Yuri

La réponse à votre question est oui, l’existence de

n

quantités conservées avec

n

les degrés de liberté impliquent la séparabilité de HJ.

L’équation HJ sans masse est

gMNSXMSXN=E.


Il sépare s’il existe un nouvel ensemble de coordonnées

OuiM

tel que

S(Oui1,...,Ouin)=je=1nSje(Ouije),


ce qui implique l’existence de

n

quantités conservées, car chaque terme de l’équation HJ dépend de sa propre variable. La même procédure est utilisée lorsque nous résolvons PDE. Par exemple en

2


S=SX(X)+Sy(y),F(X)(XSX(X))2+F(y)(ySy(y))2=E.


Ce dernier signifie que les deux termes dans LHS sont des constantes séparément.
Nous avons donc deux quantités conservées indépendantes.

Joe

D’accord, avec la réponse de Pheonix qui montre que si vous avez suffisamment de quantités conservées, HJE est séparable, et si HJE est séparable, cela implique que nos quantités conservées existent. Je ne reconnais pas votre notation, est-ce que votre g est le tenseur métrique? Donc, votre HJE est pour un champ scalaire classique ou quelque chose? Jusqu’à présent, je n’ai vu que l’analyse en mécanique classique

Yuri

@Joe Oui,

 

#de, Hamilton, Jacobi, l’équation, Séparabilité

 

google

Laisser un commentaire

Votre adresse e-mail ne sera pas publiée. Les champs obligatoires sont indiqués avec *