Symétrie spontanée brisée par deux multiplets scalaires

CAF

Symétrie spontanée brisée par deux multiplets scalaires


Considérons une théorie avec deux multiplets de champs scalaires réels

ϕje

et

ϵje

, où

je

va de

1

à

N

. Le lagrangien est donné par:

L=12(μϕje)(μϕje)+12(μϵje)(μϵje)m22[ϕjeϕje+ϵjeϵje]g8[(ϕjeϕje)(ϕjϕj)+(ϵjeϵje)(ϵjϵj)]λ2(ϕjeϵje)(ϕjϵj),

m2<0,g>0

et

λ>g/2.

La sommation sur des indices répétés est implicite.

Les informations suivantes sont-elles exactes? Le lagrangien peut être écrit en notation vectorielle et nous pouvons voir qu’il est alors invariant sous une transformation simultanée de

ϕ

et

ϵ

tel que

ϵRjejϵj

et

ϕjeRjejϕj

si

RjekRjej=δkj

Le groupe de symétrie est alors

O(N)O(N)

avec générateurs

TuneO(N)O(N)=TuneO(N)IdN×N+IdN×NTuneO(N)

donc il y a

faibleO(N)

nombre de générateurs.

Le vide de la théorie peut être trouvé comme le minimum du potentiel

V(ϕ,ϵ)=m22(ϕTϕ+ϵTϵ)+g8((ϕTϕ)2+(ϵTϵ)2)+λ2(ϕTϵ)2

Je suis un peu confus ici – pour trouver le vacua que je pourrais exiger

VϕTϕ=VϵTϵ=!0

mais qu’advient-il du terme proportionnel à

λ

?

Réponses


 Cosmas Zachos

Non, votre « suivi » n’est pas exact. Vous avez écrit un SB lagrangien invariant par O (N) × O (N) (⊂ O (2N) ), sauf pour le λ terme, qui est seulement invariant par son sous – groupe diagonale O (N) , à la place.

Les N φ s et les N ε s s’inscrivent dans 2 N – vecteur,

(ϕ,ϵ)

, Donc le début de la symétrie O (2N) mais le g terme est que invariant par son O (N) × O (N) Indices de subgroup.The du φ s et ε besoin de ne pas connaître les uns les autres, excepter pour la λ terme les contractant ensemble: pensez à la nage synchronisée. Le terme λ est donc invariant sous O (N) , et non O (N) × O (N) .

Pour taquiner un séjour contre la confusion, choisissez N = 3, donc six champs scalaires réels. Affichez la partie invariante O (6) , que le terme g limite à O (3) × O (3) , et enfin le terme λ à O (3) . Maintenant, étudiez le SSB intégré – c’est un problème populaire que j’attribue parfois.

La clé est toujours dans la 2N 2N × matrice de masse Goldstone

δjeδjV

et, en particulier, son noyau constitué des vecteurs propres nuls.

Simplifiez maintenant l’algèbre en définissant

2m2gv2,


de sorte que l’échelle globale positive du potentiel,
g / 8, puisse être abandonnée en toute sécurité. Déplacer davantage le potentiel par les termes constants inoffensifs pour le convertir en une somme de carrés, obtenir

V=(ϕ2v2)2+(ϵ2v2)2+4λg(ϕϵ)2.

Il est évident que, pour λ = 0, ce sont les deux Greener norme potentiels hyper-sombrero superposées, de sorte que leur minima sont à

ϕ2=ϵ2=v2

.

Bien entendu,

ϕ

peut choisir une orientation dans le fond de son hypersurface sombrero et

ϵ

un arbitre, en général différent, en lui-même; donc le groupe est SSBroken jusqu’à O (N-1) × O (N-1) . Votre matrice de masse Goldstone 2N × 2N aura 2 (N-1) vecteurs nuls, donc des goldstons. Pour N = 3, vous obtenez 4 goldstons.


Pour λ ≠ 0, cependant, la symétrie n’est que O (N) , comme indiqué.

Pour λ > 0, il ressort de la somme potentielle des carrés positifs que

ϕ2=v2;ϵ2=v2;ϕϵ=0 .


Soit les orientations de vide de

ϕ

et

ϵ

doit être orthogonal. Wlog, prendre

ϕ1=v=ϵ2

. L’invariance survivante n’est alors que O (N-2) , et les goldstons 2N-3 , donc 3 pour N = 3 – pouvez-vous la voir dans votre matrice Goldstone? (Astuce: Confirmer uniquement

ϕ1,ϵ2

et

ϕ2+ϵ1

sont massifs, pour tout N. )


Le graphique s’épaissit pour 0> λ > – g / 2. Maintenant , le λ terme est obligé de se développer , ne rétrécit pas, et, grandeurs étant égales par ailleurs (dictée par les autres termes), il presse à aligner

ϕ

avec

ϵ

, Donc alors,

ϕ=ϵ

.

Plus précisément, considérez la première variation qui vous a apparemment contrecarré en premier lieu (rappelez-vous que la stationnarité est requise pour chaque composante des champs, pas seulement les magnitudes de leurs vecteurs de groupe!),

δVδϕ=δVδϵ=0,


Et ainsi

0=v2ϕ+(ϕϕ)ϕ+2λg(ϕϵ)ϵ0=v2ϵ+(ϵϵ)ϵ+2λg(ϵϕ)ϕ.


Il est évident que

ϵϕ

, alors définissez

ϵuneϕ

pour un véritable non-vernissage a . Les conditions d’extrémisation se réduisent alors à seulement

v2=ϕϕ(1+2λgune2);v2=ϕϕ(une2+2λg),


Ainsi donc,

une2=1

, rappelant la condition

2λg+1>0

.

Prenez un = 1, l’ alignement parfait de

ϕ

avec

ϵ

Et

ϕ2=ϵ2=v2/(1+2λ/g)

. Vous avez alors un sous-groupe résiduel ininterrompu O (N-1) , donc seulement N-1 goldstons maintenant, 2 pour N = 3. Observez l’augmentation de vevs sans limite avec une diminution négative de λ .

Compte tenu de cet alignement, vous pourriez revenir au potentiel et surveiller comment λ <- g / 2 , au-delà du pâle, submergerait les termes des potentiels du Sombrero et les inverserait, les déstabilisant, empêchant ainsi la SSB, entre autres calamités.

 

brisée,, deux, multiplets, par, scalaires,, spontanée, symétrie?

 

google

Laisser un commentaire

Votre adresse e-mail ne sera pas publiée. Les champs obligatoires sont indiqués avec *