Système de poulie. Pourquoi dois-je mettre un signe moins?

Labba

Système de poulie. Pourquoi dois-je mettre un signe moins?


Je suis un étudiant de premier cycle en mathématiques qui a du mal à comprendre la physique élémentaire. L’exercice suivant me semble particulièrement obscur.

UNE

3,70 kg

masse (appelons cela

m 1

) est connecté à un

2,30 kg

masse (que ce soit

m 2

) à travers une corde sans masse et inextensible, qui est pliée par une poulie comme dans la figure ci-dessous.

entrez la description de l'image ici

J’ai besoin de calculer l’accélération des masses (

une

) et la tension de la corde (

T

). En considérant deux référentiels différents pour chaque masse (comme le montre l’image), j’ai élaboré les équations suivantes pour les forces agissant sur

m 1

le long de son

X

-axis, et ceux agissant sur

m 2

le long de son

y

-axe:

{ T m 1 g péché 30 = m 1 une T m 2 g = m 2 une

{ T m 1 g péché 30 = m 1 une T m 2 g = m 2 une

Afin de proposer ce système, j’ai observé que:

  • le même argument prouve que l’accélération

Je pensais avoir tout fait correctement, mais quand j’ai essayé de calculer

une

et

T

mes résultats ne concordaient pas avec ceux que j’ai trouvés dans mon livre. Après quelques essais, j’ai découvert que le système ci-dessus donnerait les bonnes solutions, si seulement je changeais le signe de

m 2 une

comme ça:

{ T m 1 g péché 30 = m 1 une T m 2 g = m 2 une

{ T m 1 g péché 30 = m 1 une T m 2 g = m 2 une

Cela correspond apparemment au fait que, d’un point de vue physique,

m 2

ira vers le bas tout en tirant

m 1

vers la poulie. Ma question est: suis-je censé le savoir à l’avance? Ai-je besoin de savoir ce que la masse tire sur l’autre et où pour résoudre le problème? Je dois également le mentionner, car

m 1

a une plus grande masse, j’ai d’abord pensé que

m 1

serait celui glissant vers le bas tout en soulevant

m 2

vers la poulie, donc j’ai essayé de réécrire le premier système avec

m 1 une

au lieu de

m 1 une

(en quittant

m 2 une

intacte). Comme vous pouvez le deviner, cela n’a pas aidé.

Je veux juste comprendre pourquoi mon raisonnement est défectueux. J’ai choisi les signes de

T

,

m 1 g péché 30

,

m 2 g

afin qu’ils soient d’accord avec les référentiels que j’ai utilisés, alors que je devais partir

m 1 une

et

m 2 une

comme ils le sont parce que je ne savais pas comment le système allait évoluer. Pourtant, il semble que cette connaissance soit nécessaire pour comprendre la mécanique des deux masses. Comment est-ce possible?

Steeven

 » J’ai donc essayé de réécrire le premier système avec m 1 une

m 1 une

au lieu de m 1 une

m 1 une

« Etes-vous sûr que cela n’a pas aidé? Parce que cela devrait permettre de le résoudre, en donnant juste une valeur négative. Parce que vous n’avez pas besoin de savoir à l’avance dans quelle direction ils pointent, mais juste qu’ils pointent de la même manière . C’est le lien entre les deux cases que vous devez rectifier.


Mehrdad

Grande question. J’expliquerais la réponse acceptée différemment, de sorte que vous voyez non seulement l’incohérence, mais où votre raisonnement a fondamentalement mal tourné. C’est là qu’être «stupide» / pédant / systématique aide. Le problème est que vous partagez le même

Labba

J’ai accepté cette réponse parce que c’est celle qui m’a le plus éclairé, avec les commentaires en dessous. J’ai pensé que je devrais attendre jusqu’à ce qu’Erenust ait intégré son commentaire dans sa réponse (comme l’a suggéré svavil), mais cela ne s’est pas produit et j’ai pensé que ce serait injuste si je n’acceptais aucune réponse. Quoi qu’il en soit, merci pour votre remarque! Tu as raison, en traitant

Réponses


 erenust

Oui, vous devez le savoir à l’avance. Voici comment procéder: dans la première équation que vous avez écrite,

une

est positif si l’objet se déplace plus haut sur la pente. Si cet objet monte plus haut sur la pente, l’objet suspendu à la corde descendrait. Cela signifie qu’un positif

une

et par extension, une force positive pointerait vers le bas. Donc, votre équation ne devrait pas être

T m 2 g = m 2 une

mais

m 2 g T = m 2 une

.

Labba

Est-ce à dire que je devrais déjà savoir comment les masses vont se déplacer, c’est-à-dire que

erenust

Non non. Je voulais dire, une fois que vous avez choisi une direction positive

svavil

@erenust Je vous suggère de déplacer ce commentaire dans le corps principal de votre réponse. À première vue, votre réponse indique actuellement que vous devez connaître la direction à l’avance.

Ian

@erenust Ce dernier commentaire est assez important. À des fins de visualisation, vous pouvez penser à cela comme deviner de quelle manière les masses se déplaceront (en dessinant votre figure de telle sorte que


 BowlOfRed

T

a une direction positive dans les deux cadres de référence

Ceci est une erreur.

T

est une propriété scalaire de la corde et n’a pas de direction. La fixation de la corde aux masses fournit une force sur la masse, et cela a une direction.

L’ampleur de

T

et la force appliquée sont les mêmes, mais la direction de la force appliquée doit être prise en compte dans votre référence.

Donc un seul

T

se transforme en forces distinctes sur les deux masses, et ces forces sont dans des directions différentes le long du chemin de déplacement, donc elles devraient avoir des signes différents.

garype

Il est incorrect de dire que la déclaration citée est incorrecte. On peut prendre

BowlOfRed

@garyp, comment le

garype

Considérez le mouvement de masse 1. Pour appliquer la 2ème loi de Newton, nous avons besoin de toutes les forces sur lui. Ce sont: la gravité due à la terre (dirigée vers le bas), la force normale due à la rampe (dirigée


 garype

Mieux vaut écrire

T m 1 g péché θ = m 1 une 1

T m 1 g péché θ = m 1 une 1

T m 2 g = m 2 une 2

T m 2 g = m 2 une 2

une 1 = a 2

une 1 = une 2

Les variables d’accélération représentent l’accélération de chaque masse dans son propre système de coordonnées indépendant, elles doivent donc être identifiées comme telles. La troisième équation est une équation de contrainte qui établit la connexion entre les deux systèmes de coordonnées. En choisissant une variable pour représenter l’accélération des deux, vous manquez cette connexion.

Gardez les systèmes de coordonnées séparés et identifiez les contraintes de manière explicite. Les problèmes plus simples cèdent facilement à l’approche consistant à choisir un ensemble particulier d’axes choisis pour rendre le mouvement simple. Mais des problèmes compliqués avec plusieurs objets connectés de manière compliquée vous rendront fou en essayant de comprendre la disposition « simple » des axes qui simplifie le mouvement tout en respectant les contraintes. Chaque objet obtient un système de coordonnées; les systèmes sont liés par des équations de contrainte. Il s’agit d’une approche systématique qui rapportera des dividendes à long terme. C’est une bonne habitude à établir, à mon avis.

Farcher

Il doit être +1 étant donné que j’ai écrit une réponse presque identique en même temps que vous écriviez la vôtre. 🙂


 Méphistophélès

Dans le cadre du processus d’analyse de problèmes comme celui-ci, il est important de sélectionner des directions positives et négatives pour les quantités vectorielles telles que les forces et les accélérations et de respecter cette affectation pour l’ensemble du problème. Dans votre première équation, vous avez sélectionné le mouvement vers le haut de l’inclinaison pour être positif, et le signe de toutes les forces agissant sur

m 1

doivent être cohérents avec ce choix. Et en fait, ils le sont. Pour votre équation pour

m 2

, vous avez choisi la direction verticale positive pour être vers le haut, et les signes de toutes les forces agissant sur cette masse doivent être cohérents avec ce choix. Puisque vers le haut est la direction positive et que le bloc se déplace vers le bas, l’accélération doit être choisie négative dans ce cas. Les quantités vectorielles comme les forces et les accélérations ont des grandeurs ET des directions.


 Dave Coffman

Votre problème est en partie dû à votre positionnement des axes sur le diagramme. Bien qu’ils ne soient pas incorrects, ils peuvent entraîner le genre de confusion que vous avez vécu. Comme l’a dit mon professeur de physique au lycée, «les poulies sont des cintreuses d’axes». Vous pouvez le visualiser de cette façon: puisque vous avez choisi l’axe x positif pour pointer vers le haut de la pente, l’axe x positif doit rester parallèle à la corde. Lorsque la corde fait le tour de la poulie, puis tout droit vers le bas, l’axe des X « se plie » également pour pointer vers le bas. Cela signifie que, où

m 2

est situé, l’axe des x pointe vers le bas au lieu de s’incliner vers le haut et vers la droite. Le signe négatif suit naturellement une fois que vous avez choisi le système de coordonnées de cette façon.

garype

Le placement des axes n’est pas incorrect. On peut analyser le problème avec des axes de coordonnées dans n’importe quelle orientation. C’est simplement une question de préférence. Mon approche est de mettre en place des axes sans aucune réflexion sur les relations entre les variables. En fait, je choisis toujours + pour être à droite. Je laisse les panneaux prendre soin d’eux-mêmes. Mais c’est ma préférence . Cela fonctionne pour moi, mais il y a beaucoup de gens qui n’aiment pas ça, et ils me l’ont dit.

Dave Coffman

@garyp Oui, les axes peuvent être placés comme vous le souhaitez. Ce que je voulais dire quand j’ai dit que le placement était incorrect était que l’OP avait un ensemble d’axes avec le x positif pointé vers le haut de la pente, et un autre ensemble avec x positif pointé vers la droite. Cela a déclenché des sonneries d’alarme dans ma tête qui peuvent ou non être justifiées. J’aurais probablement dû dire « votre placement des axes peut conduire à la contradiction » ou quelque chose dans ce sens. Je vais corriger ma réponse pour refléter cela.


 saladi

Non il n’est pas nécessaire de le savoir à l’avance …

Assumons juste une direction, Disons que

m 2

va vers le bas puis par contrainte

m 1

monte, formons maintenant les équations comme

{ T m 1 g péché 30 = m 1 une m 2 g T = m 2 une

{ T m 1 g péché 30 = m 1 une m 2 g T = m 2 une

et obtenez la réponse

Si dans le cas où vous avez supposé une direction opposée, la réponse deviendra automatiquement négative.

Dans votre solution, votre erreur est que vous avez pris les deux vers le haut, ce qui est faux par contrainte et pratiquement impossible.


 dmckee

Ma question est: suis-je censé le savoir à l’avance?

Non. Vous êtes censé le lire sur vos systèmes de coordonnées .

Si le système accélère du repos de telle sorte que

m 1

monte la rampe, puis la vitesse et l’accélération de

m 1

sont dans la direction + x et celles de

m 2

sont dans la direction -y.

Il s’agit d’une (mauvaise) caractéristique des systèmes de coordonnées que vous utilisez.

Franchement pour cette classe de problème, je préfère utiliser un système de coordonnées pour

m 2

de sorte que son mouvement soit le long de l’axe des x et ait le même sens que le bloc sur la rampe (c’est-à-dire que je fais le transport parallèle de mon système de coordonnées le long de la chaîne de sorte que le

y

-axe pour

m 2

pointe vers la droite tandis que le

X

-axe pointe vers le bas).


Pendant que nous y sommes, je dois noter que l’argument selon lequel la chaîne est inextensible ne vous montre que la magnitude des deux déplacements / vitesses / accélérations est la même, car la poulie permet à leurs directions de différer. Ce que je suppose que vous avez compris, mais cela aide parfois à le rendre explicite.


 Cort Ammon

Vous devez utiliser l’intuition pour donner un sens à la connexion

m 2 une

. Faites une petite expérience dans votre tête. Si je devais bouger / accélérer

m 2

dans la direction y positive dans son système de coordonnées, laquelle direction serait

m 1

déplacer / accélérer le long de son axe x? Il faudrait qu’il se déplace vers la gauche, ce qui est la direction négative. Si je devais déménager

m 2

dans la direction y négative,

m 1

devrait se déplacer vers la droite, la direction x positive. Parce que ces directions sont opposées, vous avez besoin d’un signe négatif.

Peu importe dans quelle direction les blocs se déplacent à la fin, mais vous devez être cohérent dans les deux images. Si vous êtes cohérent, mais choisissez la mauvaise direction, vous obtiendrez juste une accélération négative, ce qui n’est pas un problème.

Si vous deviez utiliser un seul système de coordonnées pour décrire le comportement de ce système, de la corde, du ravin et de tout, alors vous n’auriez pas à y prêter attention. Vous additionneriez simplement tous les vecteurs ensemble et les signes se trieraient. La force brute est agréable de cette façon. Cependant, pour adopter cette approche, vous devez tenir compte du comportement de la corde, des forces normales au niveau de la poulie et de toutes sortes d’autres choses qui rendraient les équations plus compliquées que vous ne le souhaiteriez (comme potentiellement devoir intégrer le long le chemin de la corde autour de la poulie!). Cette approche, utilisant deux systèmes de coordonnées, profite de la symétrie du problème: la tension dans la corde, qui est la même partout sur la corde. En profitant de cela, nous pouvons simplifier de nombreux détails, mais nous devons payer un petit prix. Nous devons nous assurer que notre utilisation des variables est cohérente entre les trames. Sinon, le raccourci ne fonctionne tout simplement pas.


 Farcher

Il n’y a absolument rien de mal avec votre choix d’axes, sauf que l’ensemble d’axes droit devrait peut-être être étiqueté

Oui

et

X

.

Cela étant, les deux équations du mouvement sont:

{ T m 1 g péché 30 = m 1 une T m 2 g = m 2 une

{ T m 1 g péché 30 = m