Tenseurs invariants des groupes symplectiques et exceptionnels.

Orbifold

Tenseurs invariants des groupes symplectiques et exceptionnels.


Nous savons que pour les groupes orthogonaux spéciaux

S O ( N )

il existe des tenseurs invariants (invariants sous l’action de groupe). Ceux-ci sont

δ je j

et totalement anti-symétrique

ϵ m 1 , m 2 , . . . m N

tenseur.

De même pour

S U ( N )

les tenseurs invariants sont

δ k je

,

ϵ m 1 , m 2 , . . . m N

et

ϵ m 1 , m 2 , . . . m N

(

δ k je

est un tenseur invariant de

U ( N )

aussi mais pas pour le

ϵ

‘s).

Ces objets sont très utiles pour construire des singulets à partir d’objets transformés sous des représentations de

S O ( N )

ou

S U ( N )

.

Question 1: Existe-t-il de tels tenseurs pour le groupe symplectique et les groupes exceptionnels? Je suis particulièrement intéressé par les groupes

S p ( 2 N )

et

E 7

. Existe-t-il une méthode systématique pour l’obtenir?

Question 2. Cette question est juste pour la curiosité. Peut-on aussi trouver des tenseurs invariants pour des supergroupes comme

O S p ( 4 | N )

ou

S U ( 2 , 2 | N / 2 )

qui apparaît dans de nombreux

N

-des théories de champ supersymétriques étendues?

Réponses


 suresh

Voici une réponse partielle: définir

S p ( 2 N , R )

comme le groupe de matrices

S

tel que

S Ω S T = Ω

Ω je j

est une matrice anti-symétrique non dégénérée. ensuite

Ω je j

est un tenseur invariant similaire au delta de Kronecker pour les transformations orthogonales. Je ne pense pas qu’il y en ait plus (pas sûr à 100%).

Pour

E 7

:

E 7

peut être défini comme le groupe qui conserve un tenseur antisymétrique de deuxième rang

g μ ν

et un tenseur de quatrième rang totalement symétrique

F μ ν ρ σ

avec

μ , ν , ρ , σ = 1 , 2 , , 56

(c’est-à-dire que la représentation à 56 dimensions est la représentation qui définit). Plus en détail:

g μ 1 μ 2 = ( S μ 1 ) ν 1   ( S μ 2 ) ν 2   g ν 1 ν 2   ,

g μ 1 μ 2 = ( S μ 1 ) ν 1 ( S μ 2 ) ν 2 g ν 1 ν 2 ,

avec un semblable pour l’autre tenseur.

le

E 7

la description est décrite dans le livre de théorie de groupe de P. Cvitanovic. Vous pouvez y voir les groupes supersymétriques pour lesquels il a une approche intéressante.

Orbifold

Oui bien sûr! Cela vient par définition. Y en a-t-il d’autres?

suresh

@Orbifold J’ai mis à jour ma réponse pour inclure le

 

(groupes, #et, des, exceptionnels., invariants, symplectiques, tenseurs

 

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