Toutes les forces centrales sont-elles conservatrices? Wikipédia doit se tromper

n3rd

Toutes les forces centrales sont-elles conservatrices? Wikipédia doit se tromper


Ce n’est peut-être qu’un simple problème de définition, mais j’ai appris en classe qu’une force centrale n’a pas nécessairement besoin d’être conservatrice et le Wikipédia allemand le dit aussi. Cependant, Wikipédia en anglais déclare différents sur leurs articles, par exemple:

Une force centrale est un champ conservateur, c’est-à-dire qu’elle peut toujours être exprimée comme le gradient négatif d’un potentiel

Ils utilisent l’argument selon lequel chaque force centrale peut être exprimée comme un gradient d’un potentiel (symétrique radial). Et puisque les forces qui sont des champs de gradient sont par définition des forces conservatrices, les forces centrales doivent être conservatrices. Pour autant que je sache, une force centrale peut avoir un potentiel (symétrique radial) mais ce n’est pas nécessairement toujours le cas.

Mise à jour sept. 2017: Wikipédia en anglais a mis à jour son texte et déclare maintenant explicitement

Tous les champs de force centraux ne sont pas conservateurs ni symétriques sphériquement. Cependant, il peut être démontré qu’une force centrale est conservatrice si et seulement si elle est symétrique sphérique. [2]

Benji Remez

En principe, chaque force / champ central avec une symétrie azimutale complète, tant qu’il est également indépendant du temps, peut être intégré pour trouver le potentiel qui lui est associé. Ce potentiel n’est peut-être pas analytique, mais il existe et son existence équivaut à affirmer que la force est conservatrice.

LastStar007

Re: mise à jour: En septembre 2017, le wiki anglais a utilisé deux définitions différentes de la force centrale. La définition dans Wolfram ScienceWorld inclut la contrainte que la force soit sphériquement symétrique (c’est-à-dire ne dépend que de r), contrairement à la définition dans Taylor’s Classical Mechanics. J’ai depuis modifié le Wiki anglais pour adhérer à la définition de Taylor.

Réponses


 Jerry Schirmer

Cela dépend de ce que vous entendez par «force centrale».

Si votre force centrale est de la forme

F = F ( r ) r ^

(la force pointe radialement vers l’intérieur / vers l’extérieur et sa magnitude ne dépend que de la distance du centre), alors il est facile de montrer que

ϕ = r F ( r )

est un champ potentiel pour la force et génère la force. C’est généralement ce que je vois que les gens veulent dire quand ils disent «force centrale».

Si, toutefois, vous voulez simplement dire que la force pointe radialement vers l’intérieur / l’extérieur, mais peut dépendre des autres coordonnées, alors vous avez

F = F ( r , θ , ϕ ) r ^

, et vous allez rencontrer des problèmes pour trouver le potentiel, car vous avez besoin

F = V r

, mais vous devrez également avoir

V θ = V ϕ = 0

pour tuer les composants non radiaux, ce qui conduira à des contradictions.

Il est logique qu’un champ de cette forme soit non conservateur, car si la force est plus grande à

θ = 0

qu’il ne l’est à

θ = π / 2

, vous pouvez effectuer un travail net autour d’une courbe fermée en vous déplaçant vers l’extérieur à partir de

r 1

à

r 2

à

θ = 0

(travail positif), puis rester à

r 2

constant, allant de

θ = 0

à

θ = π / 2

(travail nul – force radiale), retour à

r 1

(moins de travail que la première étape) et revenir à

θ = 0

(zéro travail).

n3rd

C’est ce que je pensais. Merci!

Michael Seifert

Notez que l’article de Wikipédia en anglais définit explicitement une force centrale comme étant symétrique sphérique (« un champ de force est central si et seulement s’il est symétrique sphérique »), tandis que l’article de Wikipédia allemand déclare explicitement qu’il envisagera les champs de force radiaux sans sphérique symétrie (« In diesem Artikel werden jedoch auch nichtkonservative Zentralkräfte behandelt, die insbesondere keine Radialsymmetrie aufweisen müssen. ») Ou, du moins, ils contiennent désormais ces phrases (elles peuvent ne pas avoir trois ans auparavant …)

n3rd

Haha, bon appel


 Paul

Prenez curl en coordonnées polaires sphériques d’une force centrale, vous verrez que puisqu’il n’y a pas de composante de la force dans le

θ

et

ϕ

direction et

F ( r )

ne dépend pas de

θ

et

ϕ

, donc la courbe de la force centrale est nulle. Par conséquent, les forces centrales peuvent être représentées comme un gradient de certains scalaires, c’est-à-dire que les forces centrales sont conservatrices.

 

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