Transformation de Laplace inverse du double pôle

divB

Transformation de Laplace inverse du double pôle


Étant donné la fonction de transfert simple d’un double pôle:

H(s)=1(1+unes)2=11+s2une+s2une2=11+sk1+s2k2

Sa transformée de Laplace inverse est (par exemple [1]):

h(t)=k124k2

L’expression dans la racine devient nulle et donc h (t) indéfinie. Le système est parfaitement stable et légitime.

J’ai pensé qu’il y avait peut-être plusieurs expressions allant vers des valeurs indéfinies telles que je devais invoquer l’Hopital. Cependant, ce n’est pas le cas.

Qu’est-ce que je rate?

[1] http://www.wolframalpha.com/input/?i=inverse+laplace+transform&rawformassumption=%7B%22F%22,+%22InverseLaplaceTransformCalculator%22,+%22transformfunction%22%7D+-%3E%221% 2F (1 +% 2B + s * k1 +% 2B + s% 5E2 * k2)% 22 & rawformassumption =% 7B% 22F% 22, +% 22InverseLaplaceTransformCalculator% 22, +% 22variable1% 22% 7D + -% 3E% 22s% 22 & rawformassumption = % 7B% 22F% 22, +% 22InverseLaplaceTransformCalculator% 22, +% 22variable2% 22% 7D + -% 3E% 22t% 22 & rawformassumption =% 7B% 22C% 22, +% 22inverse + laplace + transform% 22% 7D + -% 3E +% 7B% 22Calculateur% 22% 7D

jonk

Ne pouvez-vous pas attribuer

divB

Bon point! Je l’ai fait maintenant et cela a été corrigé. Je suis toujours curieux de savoir pourquoi la solution complète échoue

Réponses


 jonk

Voici la fonction de transfert:

Hs=1(1+unes)2

( REMARQUE : il peut aider les autres à savoir que cette fonction de transfert peut être générée, si

une=τ=RC

, par un passe-bas RC, suivi d’un tampon idéal pour supprimer les effets de chargement, suivi d’un passe-bas RC identique. Ceci est toujours amorti de façon critique.)

La solution à l’inverse de Laplace peut être recherchée de plusieurs manières différentes. Mais la convolution conduit à un peu moins d’écriture.

L1{Hs}=L1{1(1+unes)2}=L1{1une2(s+1une)2}, ensemble b=1une=L1{b2(s+b)2}=L1{bs+bbs+b}ensemble Fs=bs+bFt=bebt=L1{FsFs}=(FF)t=0tbeb(tv)bebvv=b20teb(tv)ebvv=b20tebtv=b2ebt0tv=b2tebt=1unetuneetune

Ou, en utilisant

τ=une

,

L1{1(1+τs)2}=1τtτetτ

Ce qui précède se divise en deux parties, l’une avec des unités (

1τ

) et sans unité (

tτetτ

.) Si vous épicez le circuit que j’ai décrit dans la note ci-dessus (RC, tampon, RC) et que vous le frappez avec une impulsion de Dirac (une belle pointe haute pendant un temps très court par rapport à la constante de temps RC), alors vous verrez exactement cette sortie en utilisant un .TRAN.

Le pic doit se produire lorsque la dérivée est 0, ou lorsque

t=τ

. Cela signifie donc que le pic de la courbe que Spice montre devrait être de

1eτ

. Et évidemment, ce pic devrait se produire à

t=τ

sur l’intrigue temporelle. (La zone dans l’impulsion de Dirac sera égale à la zone sous la courbe tracée dans le temps.)


Faisons le. Voici le schéma Spice:

entrez la description de l'image ici

Voici la sortie:

entrez la description de l'image ici

N’hésitez pas à tracer également l’équation elle-même et à voir dans quelle mesure ils correspondent.


 un citoyen concerné

N’oubliez pas qu’il y a trois conditions pour un système de second ordre: suramorti, amorti de manière critique et sous-amorti, ce qui signifie que le dénominateur a trois résultats possibles:

  1. suramorti – signifie que 4 * k 2 <k1 2 => la réponse impulsionnelle a un terme sinh (), donc de la forme exp (-t) * sinh (t);

  2. amortissement critique – 4 * k 2 = k1 2 => la réponse impulsionnelle n’a qu’un terme exp (-t), tandis que le dénominateur se simplifie également à 2 * k 2 ;

  3. sous-amorti – 4 * k 2 > k1 2 => la réponse impulsionnelle a la forme exp (-t) * sin (t);

Je pourrais écrire les expressions directes, mais ce serait vous priver de plaisir.

divB

Eh bien, j’y ai pensé, mais le système que j’ai décrit est gravement amorti par définition!

un citoyen concerné

@divB Comme je l’ai dit, je vous aurais volé le plaisir, c’est pourquoi je l’ai gardé dans un cas général, où vous étiez censé déterminer dans quel cas vous étiez – vous l’avez fait (félicitations), le deuxième , où le dénominateur n’est pas nul, mais la condition le transforme en 2 * k2. jonk donne une (très bonne) réponse complète, mais pour des cas comme ceux-ci, j’essaie généralement d’éviter cela.

 

#de, double, du, inverse, Laplace, pole, transformation?

 

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