Transformée de Fourier et de Fourier inverse dans QFT

Rodrigo

Transformée de Fourier et de Fourier inverse dans QFT


D’après mes notes de cours, la transformée de Fourier inverse d’un opérateur

ϕ(p)

est donné par

ϕ(X)=4p(2π)4ϕ(p)ejepX.

Comme @WenChern l’a souligné ci-dessous, Peskin a une formule quelque peu différente à la p.20:

ϕ(X,t)=3p(2π)3ϕ(p,t)ejepX.

J’essaie de voir comment ces deux formules sont équivalentes et quelles seraient les extensions correspondantes de

ϕ(p)

o et

ϕ(p,t)

comme une transformée de Fourier de

ϕ(X)

. De plus, j’aimerais savoir pourquoi on ne prend pas ces intégrales sur la coque de masse de la même manière que dans l’autre définition suivante de

ϕ(X)

:

ϕ(X)=3p(2π)32Ep[une(p)ejepX+une(p)ejepX]|p0=Ep.

Valter Moretti

Ce que vous écrivez ne peut en aucun cas contenir, il doit y avoir une erreur dans votre source. Le fait est que

Rodrigo

@ValterMoretti bon point! J’ai édité ma question.

Réponses


 Wen Chern

Indice:

1.

ϕ(X,t)

à des moments différents ne sont pas indépendants.

2.

4pδ(p2m2)=4pδ(p0Ep)2p0

. Le côté gauche de cette équation est invariant de Lorentz.

Cette fois, votre question est beaucoup plus claire.

Si

ϕ(X)

est une fonction arbitraire de

X

, il n’y a rien de déroutant. Si

ϕ(X)

est contraint par l’équation de Klein-Gordon, nous avons

0=(+m2)ϕ(X)=p4(2π)4(m2p2)ϕ(p)ejepX

.

Depuis

ejepX

s sont linéairement indépendants,

ϕ(p)

doit disparaître partout sauf sur la coquille de masse

p2=m2

. Alors la forme la plus générale de

ϕ(p)

devrait être

ϕ(p)=2π2Ep[δ(p0Ep)unep+δ(p0+Ep)bp]

.

Ainsi


ϕ(X)=p4(2π)4ϕ(p)ejepX=p3(2π)312Ep[unepejeEpt+bpejeEpt]ejepX=p3(2π)312Ep[unepejepX+bpejepX]

.

Évidemment, ce n’est que la dernière équation de votre question.


Alors les transformées de Fourier inverses sont


ϕ(p)=4Xϕ(X)ejepX

,

Et


ϕ(p,t)12Ep[unepejeEpt+bpejeEpt]=3Xϕ(X)ejepX

.

En raison de la limitation de la longueur des caractères, j’ajoute les commentaires ci-dessous.

La première identité de la dernière ligne est la définition de

ϕ(p,t)

. La deuxième identité est la transformée de Fourier tridimensionnelle inverse de

ϕ(X)=p3(2π)312Ep[unepejeEpt+bpejeEpt]ejepX

. Comparaison directe de

ϕ(p,t)

et la forme générale de

ϕ(p)

montre que

ϕ(p)

contient des fonctions delta supplémentaires, tandis que

ϕ(p,t)

est exempt de fonctions delta. Beides, puisque

ϕ(p)

est la transformée de Fourier à 4 dimensions de

ϕ(X)

, ce n’est pas une fonction de

t

. Je ne pense pas que

ϕ(p)

peut être compris comme « une particule avec 4 impulsions

p

« . Cela n’a de sens que mathématiquement. La racine carrée n’est qu’une question de convention qui peut être absorbée par

unep

et

bp

(voir Peskin p21).

Rodrigo

Je comprends 2., mais pouvez-vous élaborer sur 1.? Je pense que l’on devrait commencer par une intégrale sur tout l’espace-temps contraint par une fonction delta, comme

Wen Chern

Désolé, j’ai mal compris votre question pour la première fois.

Wen Chern

Je pense qu’il peut être utile d’écrire la deuxième équation dans votre question d’origine sous la forme

Wen Chern

En outre, le facteur

Rodrigo

Merci pour votre réponse! Mais pouvez-vous expliquer comment vous êtes arrivé à la dernière ligne? Je suis encore un peu confus quant à la différence entre

 

#de, #et, dans, Fourier?, inverse, QFT?, transformée

 

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