Trouver la forme d’un fil massif suspendu

Zach Johnson

Trouver la forme d’un fil massif suspendu


Cela venait d’un livre d’ondes de physique. J’ai un fil statique et massif sur l’axe x, avec un déplacement y dû à une force par unité de longueur

Fy

. Je commence par l’équation

Fy=T02(η)(X)2

, où

η

est un petit déplacement dans la direction y et

T0

, avec des unités de force, est la tension supportant le fil. J’ai besoin de trouver la forme du twire, j’ai donc besoin d’intégrer les deux côtés deux fois par rapport à x.

FyX2=T02(η)(X)2X2

Comme ce sont deux intégrales indéfinies, c’est assez facile et je reçois

FyX2=Toη+CX+

. Mais si je tentais des intégrales définies, comment procéderais-je exactement? Si les deux sont définitifs …

FyX1X2X1X2X2=T0X1X2X1X22(η)(X)2X2


C’est ainsi que je pense que le théorème fondamental du calcul s’appliquerait

Fy(X2X1)X1X2X=T0X1X2((η(X2))(X)(η(X1))(X))X


Mais cela semble très faux.
Avoir

η

en fonction des seuls critères d’évaluation semble étrange. Intuitivement, je voudrais indéfiniment intégrer cela une fois, puis définitivement intégrer la deuxième fois pour le limiter. Comment appliquez-vous le FTC ici?

J’ai également vu à partir d’autres questions que la courbe n’est pas en fait parabolique comme le suggère ma première équation, quelle hypothèse est-ce que je fais qui a jeté cela?

Toute aide est appréciée, je pense que ce succès est sur un concept clé que j’ai manqué dans le calcul.

Qmécanicien ♦

Connexes: physics.stackexchange.com/q/51485/2451 et les liens qui s’y trouvent.

Réponses


 paisanco

L’hypothèse que la tension

T

est constant est ce qui est violé ici. Parce que le câble a un poids, ce n’est pas vrai.

La forme du câble n’est pas une parabole mais une caténaire, c’est-à-dire une forme décrite en termes de cosinus hyperbolique

matraque

. La manière de résoudre la forme du câble est de trouver et de résoudre une équation différentielle qui décrit la forme du câble. Pour ce faire, laissez

wl

être le poids par unité de longueur du câble et dessiner un diagramme de corps libre d’une courte longueur du câble à une distance

l

de l’extrémité gauche, près du point le plus bas du câble:

entrez la description de l'image ici

T0

est la tension au point le plus bas du câble,

Tl

est la tension au point une distance

l

le long du câble, et

θ

est l’angle que

Tl

fait avec l’horizontale. Maintenant, à partir de la figure, nous voyons que

cosθ=T0Tl

et aussi que

Tlpéchéθ=W(l)

, le poids du câble jusqu’à la longueur

l

.

donc après une petite algèbre on obtient

Tl=T02+wl2l2

Considérons maintenant une petite longueur

l

du câble. Nous savons

X=lcosθ

donc

X=T0T02+wl2l2l

Faire l’intégrale de la ligne le long du câble à partir de

0

à

l

nous donne une expression pour

X

en termes de

l

:

X(l)=T0wlsinh1(wllT0)

En utilisant cette équation, et le fait que

y=Xbronzerθ=W(l)T0

et aussi en intégrant, on arrive après une petite algèbre pour une équation pour

y(l)

en termes de

X(l)

:

y(l)=T0wlmatraque(wlXT0)

La forme du câble n’est donc pas une parabole, mais une courbe caténaire qui est décrite en fonction du cosinus hyperbolique.

Zach Johnson

Merci pour votre réponse. Je pense que la formule dx devrait avoir un T_0 et non un T_l. Je suis aussi confus à partir de la ligne dy = dltan (thêta), cela ne semble tout simplement pas être vrai et je ne peux pas savoir comment vous êtes arrivé à l’équation finale y (l).

paisanco

Bonne prise sur les fautes de frappe (dy devrait être dx tan (theta), pas dl), les a fixées

 

#la, d’un, fil, forme, massif, suspendu, trouver

 

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