Une question conceptuelle sur le spin

Doris

Une question conceptuelle sur le spin


J’ai lu dans la mécanique quantique de Landau (section 62) que si le hamiltonien n’implique pas de spin, la fonction d’onde totale peut être écrite

ψ(X1,X2,...)χ(σ1,σ2,...)


dans laquelle les dépendances de coordonnées et de spin sont séparées.

Est-ce à dire que pour un tel hamiltonien pour un système de particules identiques, il existe toujours un ensemble complet de fonctions d’onde de forme

ψ(X1,X2,...)χ(σ1,σ2,...)


qui sont symétriques ou antisymétriques sous échange d’étiquettes?

Si cela est vrai, pourquoi exactement la partie de spin et la partie de coordonnées ne sont-elles ni symétriques ni antisymétriques en général, selon Landau (section 63)?

Phoenix87

Si je comprends bien le problème, la raison en est que vous pouvez placer les spins dans la direction que vous souhaitez, mais pour une particule à 1/2 spin, la partie spatiale doit être antisymétrique pour vous assurer que vous n’avez pas les mêmes spins au même endroit. avec le même état de spin.

Edward Hughes

@ Doris – pourriez-vous clarifier un peu la question? À l’heure actuelle, il n’est pas évident que vos affirmations concernant la (anti) symétrie s’appliquent aux deux

Sofia

La question n’est pas formulée clairement.

Sofia

@ Doris, Dans l’espace total de Hilbert comprenant des variables d’espace et des variables de spin, vous pouvez définir une base orthonormée. Parmi les bases possibles, vous pouvez en choisir une dans laquelle les fonctions sont factorisées comme vous le dites, la partie espace étant séparée de la partie spin. Une telle factorisation tient si l’hamiltonien ne comprend pas de termes d’interaction entre les spins et le comportement spatial.

Sofia

@ Doris (suite) Cependant, à propos de la symétrie ou de l’antisymétrie, vous avez probablement une erreur de frappe. Vous dites  » ni symétrique ni antisymétrique ». Non, son « soit symétrique ou antisymétrique ». La fonction d’onde totale d’une collection de fermions identiques doit être antisymétrique dans deux fermions quelconques, c’est-à-dire que la partie espace ou la partie spin, mais pas les deux , doit changer de signe si vous les échangez. Pour des bosons identiques, la fonction d’onde doit être symétrique à un tel échange. Soit l’espace et les parties de rotation, changez de signe à l’échange, ou les deux restent inchangés.

Réponses


 Edward Hughes

C’est en fait une question très perspicace.

Vous avez raison de dire qu’une fonction d’onde générale pour un hamiltonien sans interaction de spin peut s’écrire

ψ(X1,X2,)χ(σ1,σ2,)

ψ

est la fonction d’ onde spatiale et

χ

la fonction d’onde de spin .

Pour un système de bosons, la fonction d’onde globale doit être invariante sous toutes les permutations, en d’autres termes

P(ψχ)=ψχ

P

est l’opérateur de parité. Nous appelons ces fonctions d’onde globales symétriques .

Pour un système de fermions, la fonction d’onde globale doit changer de signe sous une permutation impaire, c’est-à-dire

P(ψχ)=signe(P)ψχ

Nous appelons ces fonctions d’onde globales antisymétriques .

Nous devons maintenant examiner quelles restrictions ces conditions imposent aux fonctions d’onde spatiale et de spin

ψ

et

χ

.

Supposons que nous ayons un système de 2 bosons identiques. Ensuite, nous devons avoir soit

  1. les deux
  2. les deux

Dans les deux cas, cela produit une fonction d’onde globale symétrique, car

(1)2=1

.

Maintenant, plus généralement, supposons que nous ayons

n

bosons identiques. Ensuite, il y a plus de liberté dans le choix

ψ

et

χ

de telle sorte que vous obtenez quelque chose de globalement symétrique. Si je choisis

ψ

et

χ

assez soigneusement, ils n’ont pas à être eux-mêmes complètement symétriques ou antisymétriques!

Cela revient au fait que pour plusieurs particules, il y a plus de représentations du groupe symétrique que de celles totalement symétriques ou totalement antisymétriques. En fait, vous obtenez une représentation pour chaque diagramme de Young que vous pouvez dessiner.

ψ

et

χ

ont des transformations linéaires définies sous permutation de particules, doivent donc se trouver dans les représentations du groupe symétrique. Nous avons juste besoin de savoir quels diagrammes Young correspondent correctement pour donner le bon comportement de symétrie globale.

Pour les bosons, les deux

ψ

et

χ

doit être représenté par le même diagramme de Young pour obtenir une symétrie globale. Pour les fermions, les diagrammes de Young pour

ψ

et

χ

doivent être liés en échangeant des lignes et des colonnes afin d’obtenir une antisymétrie globale.

N’hésitez pas à poser d’autres questions si vous êtes toujours confus. J’ai essayé d’élucider ce dont Landau parlait à la section 63 – relisez son excellent récit et voyez si vous le comprenez mieux maintenant!

Phonon

Belle vue d’ensemble. Le premier exemple serait


 PAM

Modifié: fonction d’onde totale du système de Fermion = anti-symétrique -> soit la fonction spatiale soit la fonction de spin est anti-symétrique

fonction d’onde totale du système boson = symétrique -> les deux symétriques

Edward Hughes

C’est trop simpliste malheureusement (vous ne traitez que le cas de deux particules)!

PAM

@EdwardHughes: c’est la forme simple bien sûr mais il n’y a rien de plus profond je pense.

Edward Hughes

Voir ma réponse – lorsque vous avez plus de 2 particules, les représentations possibles du groupe symétrique sont plus compliquées!

 

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