Unicité de représentation du POVM à l’aide de la mesure projective

Dominique Unruh

Unicité de représentation du POVM à l’aide de la mesure projective


[Passez à la conjecture pour une formulation mathématique autonome de la question.]

Étant donné un POVM, il existe toujours de nombreuses manières possibles de mettre en œuvre ce POVM en tant que mesure non destructive. (En d’autres termes: il existe différents processus de mesure qui sont décrits par le même POVM mais qui ont des états de post-mesure différents.) Cependant, j’ai besoin de savoir si le processus suivant conduit à un état de post-mesure unique:

Étant donné un POVM, en raison du théorème de dilatation de Naimark, nous pouvons toujours exprimer le POVM comme une mesure projective sur un plus grand espace. (Formellement: si

E

est un élément POVM, alors il existe un projecteur

P

tel que

tr E ρ = tr P ( | 0 0 | ρ )

pour tous

ρ

.) Cependant, cette projection n’est pas unique non plus. Il y a une grande liberté sur ce que fait la projection sur le registre auxiliaire.

Pourtant, ce que je demande, c’est si cette représentation du POVM conduit à un état de post-mesure unique. Autrement dit, étant donné deux projecteurs sur des espaces plus grands qui réalisent le même POVM, obtenons-nous le même état après les avoir appliqués, si nous traçons le registre auxiliaire .

Formulé mathématiquement: la conjecture suivante est-elle vraie?

Conjecture: correction d’un hermitien

E

(l’élément POVM) fonctionnant sur l’espace Hilbert

B

et deux projecteurs

P 1 , P 2

sur

UNE B

tel que

tr P je ( | 0 0 | ρ ) = tr E ρ

pour

je = 1 , 2

et n’importe quel

ρ

. ensuite

tr UNE P 1 ρ P 1 = tr UNE P 2 ρ P 2

. (L’état après traçage du registre

UNE

est le même après l’application

P 1

ou

P 2

.)

Remarque: Les réponses utiles seraient une preuve ou un contre-exemple de la conjecture, ou un pointeur vers un papier / théorème dont cela découle.

Contexte: J’ai besoin de ces informations car dans une définition cryptographique quantique (pour les schémas d’engagement) je dois modéliser une mesure si un certain algorithme de vérification (qui peut être représenté comme un POVM) réussit. Cependant, la mesure ne doit mesurer que la quantité minimale d’informations, c’est-à-dire si la vérification réussit, pas toute autre information que l’algorithme pourrait mesurer dans le processus. (Ceci est important pour permettre le «rembobinage quantique» comme dans Unruh, «Quantum Proofs of Knowledge», Eurocrypt 2012.) La manière naturelle de modéliser une mesure aussi minimale est dans ce contexte de remplacer l’algorithme de vérification par une projection sur une plus grande espace. Mais alors, il devient pertinent de savoir si la définition change en fonction de celui des différents projecteurs possibles que nous avons choisi.

Martin

Je pense que la réponse devrait être « non » selon le dicton (voir par exemple Nielsen Chuang) qu’un POVM général ne conduit pas à un « état de post-mesure » significatif. Si pour chaque dilatation, vous aviez le même état de post-mesure, à première vue, ce serait un bon moyen de définir un tel état. Evidemment ce n’est pas une preuve, il faudra que j’y réfléchisse un peu plus …

Réponses


 Dominique Unruh

La conjecture est fausse.

Un contre-exemple pour un état à qubit unique et une ancilla à qubit unique est:

P 1 : = 1 2 0 0 1 2 0 0 0 0 0 0 0 0 1 2 0 0 1 2 , P 2 : = 1 2 0 1 2 0 0 0 0 0 1 2 0 1 2 0 0 0 0 0 .

P 1 : = ( 1 2 0 0 1 2 0 0 0 0 0 0 0 0 1 2 0 0 1 2 ) , P 2 : = ( 1 2 0 1 2 0 0 0 0 0 1 2 0 1 2 0 0 0 0 0 ) .

Il est facile de vérifier que

P 1

et

P 2

sont des projecteurs (en vérifiant

P je = P je

et

P je = P je 2

).

J’ai effectué cela et tous les autres calculs dans Sage , voir le code ci-dessous (ou http://sagecell.sagemath.org/?q=dibwgc pour l’évaluer en ligne).

Pour toute

ρ C 2 × 2

, on a

tr ( P 1 ( | 0⟩ ⟨0 | ρ ) ) = 1 2 ρ 00 , tr