Variante du théorème de Sokhotski – Plemelj

klopps

Variante du théorème de Sokhotski – Plemelj


Je connais le théorème de Sokhotski – Plemelj (j’ai aussi entendu des gens l’ appeler « l’identité de Dirac ») qui dit qu’à la limite

η0+

1X±jeη=P1Xjeπδ(X).

Maintenant, je lis le livre « Solid State Physics » de G. Grosso et G. Pastori Parravicini qui déclare à la page 430 qu’en utilisant la formule ci-dessus, il peut « facilement être prouvé » que

ωEjEjeωjeη=EjEjeEjEjeωjeη1.

Cependant, je ne vois pas comment la dernière formule découle de la première. Y a-t-il une astuce qui me manque ici?

Réponses


 Nogueira

Notant la relation simple

ΔEje,jΔEje,jωjeηΔEje,jωjeηΔEje,jωjeη=ω+jeηΔEje,jωjeη


et par le théorème de Sokhotski-Plemelj

limη0+jeηΔEje,jωjeη=0


parce que si la limite

limη0+unebF(X)X±jeηX


existe, c’est ce que dit le théorème, alors

limη0+unebjeηF(X)X±jeηX=(limη0+jeη)(limη0+unebF(X)X±jeηX)=0

pour toute fonction cible

F(X)

.

DanielSank

Pourquoi la dernière partie découle-t-elle du théorème de Sokhotski-Plemelj? De plus, il y a une erreur de signe dans la deuxième équation. De plus, je ne pense pas que vous ayez besoin de la première équation du tout, car la seconde est trivialement vraie.

Nogueira

@DanielSank J’ai mis à jour ma réponse en corrigeant l’erreur de signe et en expliquant en détail l’application du théorème de Sokhotski-Plemelj.


 DanielSank

Je ne pense pas que nous ayons besoin de Sokhotski-Plemelj pour cela. Pensez à

EjEje

comme une valeur fixe

E

. Ensuite, la formule est réécrite comme

ωEωjeη.

Soit maintenant

Xω

et vous obtenez

XEXjeη.

Cette intégrale est dominée par la partie où

XE

essayons donc de déplacer les variables

yEX

,

Eyyjeη

puis développez le numérateur et remettez les variables d’origine dans:

EjEjeEjEjeωjeηEjEjeωEjEjeωjeη.

Le premier terme correspond déjà au premier terme de l’expression cible, nous n’avons donc qu’à nous soucier du second terme. Le deuxième terme est 1 parce que, bien, dans la limite

η0

c’est identiquement 1.

 

–, #de, du, Plemelj, Sokhotski, Théorème, Variante

 

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