Vérification de l’équation de Boltzmann relativiste générale

Ryan Unger

Vérification de l’équation de Boltzmann relativiste générale


Laisser

( M , g )

être une variété (pseudo) riemannienne. Définir sur

T M

la forme symplectique 2

ω = X μ p μ

et utilise

g

définir le recul

ω g = X μ ( g μ ν p ν )

. Définir

L = 1 2 g μ ν p μ p ν

L = 1 2 g μ ν p μ p ν

Et le champ vectoriel

X g

par

ι X g ω g = d L

ι X g ω g = L

ι

est le produit intérieur. La solution est

X g = p μ X μ Γ μ α β p α p β p μ

X g = p μ X μ Γ α β μ p α p β p μ

et je souhaite vérifier cela. La forme symplectique est, en utilisant

= d X μ X μ + d p μ p μ

= X μ X μ + p μ p μ

( g μ ν p ν ) = d g μ ν p ν + g μ ν p ν = g μ ν X α p ν X α + g μ ν p ν

( g μ ν p ν ) = g μ ν p ν + g μ ν p ν = g μ ν X α p ν X α + g μ ν p ν

ω g = g μ ν X α p ν X μ d X α + g μ ν X μ d p ν = g μ ν X α p ν X μ d X α

ω g = g μ ν X α p ν X μ X α + g μ ν X μ p ν = g μ ν X α p ν X μ X α

le dernier terme disparaît à cause des propriétés de symétrie. Maintenant, le problème est que lorsque je contracte

X g

et

ω g

Je rencontre des termes comme

X α ( p μ )

X